Il existe plusieurs possibilités pour démontrer l'équivalence des deux membres d'une identité remarquable , ainsi que nous l'avons expliqué par téléphone à un de nos lecteurs . Le graphique ci-dessus, avec ses commentaires est beaucoup plus pratique qu'une conversation orale pour faire comprendre l'intérêt de cette représentation spatiale . Et puis, nous avons voulu faire connaître cette possibilité à ceux, bien entendu, qui n'ont pas pensé à cette solution .
Nous l'avons présenté dans notre blog,car elle s'insère très bien dans le cadre de nos outils pour mieux se représenter les connaissances ; la vision dans l'espace joue un rôle prépondérant dans notre appréhension du monde . Mêmes conseils que d'habitude pour agrandir le graphique : un clic gauche, puis un clic gauche sur page précédente pour revenir sur le texte initial .
La première solution pour démontrer ces identités remarquables est algébrique, c'est la plus fréquemment utilisée, et pour certains élèves la plus difficile à assimiler !
C'est ce que l'on qualifie de fonction discursive, c'est-à-dire qui procède par une série de raisonnements successivement ordonnés (opposée à intuitif) dans le temps et de manière séquentielle et abstraite .
La deuxième solution que nous préconisons, dans la première étape de l'apprentissage , (elle sera associée , bien sûr, plus tard à la démonstration algébrique) est la représentation géométrique dans l'espace simultanée et visuelle .
Le graphique ci-dessus montre le "super-carré" dont la valeur du côté est a+b ; et le "super cube "dont la valeur de l'arête est également a+b .
Nous pouvons observer plusieurs particularités intéressantes :
Tout d'abord, chacune des 6 faces carrées du "super-cube" dont les 12 arêtes sont toutes égales et valent a+b , est équivalente au "super-carré" de la première identité , dont les 4 côtés sont égaux et valent a+b .
Ensuite, vous remarquerez que les trois parallélépipèdes a x a x b , donc à base carrée, sont dans le prolongement des 3 faces perpendiculaires entre elles, du cube a x a x a ; il en est de même pour les 3 parallélépipèdes b x b x a , donc à base carrée , qui eux sont dans le prolongement des 3 faces perpendiculaires entre elles, du cube b x b x b .
Enfin, il n'existe qu'un seul point de contact entre les deux cubes d'arête "a" et d'arête "b" . Ce point correspond à leur sommet commun : sommet interne sur le plan inférieur du petit cube (dont l'arête est "a" ), et le sommet interne sur le plan supérieur du grand cube (dont l'arête est "b") .
La présentation géométrique évite que des élèves apprenant cette partie des mathématiques , développent a + b au carré par le carré de a, plus le carré de b, ce qui est erroné ; mais ce qui est plus grave, ceci montre que ces jeunes élèves n'éprouvent pas le besoin de réaliser une application numérique en remplaçant par exemple a par le chiffre 2 , et b par le chiffre 3 et ainsi très simplement, vérifier l'égalité des deux termes de l'identité :2 + 3 au carré égale 25 ; et non 4 + 9 le carré de a plus le carré de b, dont le résultat est 13 .
Souvent, et même presque toujours, les enseignants présentent uniquement la méthode algébrique ! Cette dernière est abstraite et difficilement mémorisable, (sinon par coeur bêtement , sans comprendre réellement la signification de ce que l'on est entrain de faire) et très difficilement applicable à l'élévation au cube (à la puissance trois comme disent les calculateurs entraînés ! (a + b) x ( a + b) x ( a + b) .
La méthode géométrique permet de "voir dans l'espace" ce que représente par exemple :a x a x b et b x b x a ; ce sont deux types de parallélépipèdes, l'un à base carrée a x a et de hauteur égale à b, et l'autre à base carrée b x b et de hauteur a .
Après cette vision spatiale, la méthode algébrique et la méthode géométrique seront mises en synergies : elles se renforcent mutuellement .
Nous espérons que ces précisions vous permettront de tirer profit de cette vision dans l'espace ; lors d'une prochaine intervention dans ce blog, nous appliquerons la vision spatiale à des "coupes géologiques" qui nous permettrons de nous représenter l'intérieur des couches géologiques sédimentaires déformées lors de la formation des chaînes de montagnes .A bientôt, Gerboise .
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire